- \(a_1=a\)
- \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_n+s}{pa_n+q}\)
- \(s=0\)なら，\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_n}{pa_n+q}\)型の漸化式 (→) であり，
- \(p=0\)なら，\(a_{n+1}=pa_n+q\)型の漸化式 (→) である．
- また， \(p:q=r:s\)，すなわち， \(ps=qr\)なら，数列\(\{a_n\}\)は定数列である．
特性方程式 $$ x=\frac{rx+s}{px+q} $$ の解を\(\alpha,\ \beta\)とすると， 解の種類に応じて， 数列\(\{a_n\}\)の一般項は，次のように表せる：
-
\(\alpha\ne\beta\)のとき
$$ a_n =\frac{\beta(a-\alpha)(r-p\alpha)^{n-1}-\alpha(a-\beta)(r-p\beta)^{n-1}} {(a-\alpha)(r-p\alpha)^{n-1}-(a-\beta)(r-p\beta)^{n-1}}, $$
-
\(\alpha=\beta\)のとき
$$ a_n =\frac{a(q+r)+2p\alpha(n-1)(a-\alpha)}{(q+r)+2p(n-1)(a-\alpha)}. $$
