上限定理

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実数の完備性アルキメデスの公理 を仮定して,次の定理を証明する.

定理(上限定理). 実数全体の集合\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(X\)が, 上に有界ならば,上限が存在する.

上限定理から, \(X\)が 下に有界ならば,下限が存在することも証明できる.

補足. 上限定理とは, 実数の連続性公理 のことである. 上で述べた通り, 実数の完備性とアルキメデスの公理を仮定すると証明することができるが, 実数の連続性を公理として採用し, 議論を始めることも多い,


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この記事は, [黒田2018][杉浦1980] を参考にさせていただいています.