命題．
\(3\)点
\({\rm{A}}(\vec{a}), {\rm{B}}(\vec{b}), {\rm{C}}(\vec{c})\)
を頂点とする
\(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)
の頂角\({\rm{A,B,C}}\)内の傍心を
それぞれ，
\({\rm{I_A}}(\vec{i_{\rm{A}}})\),\({\rm{I_B}}(\vec{i_{\rm{B}}})\),\({\rm{I_C}}(\vec{i_{\rm{C}}})\)とする．
また，辺\({\rm{BC, CA, AB}}\)の長さをそれぞれ，
\(a, b, c\)とする．
このとき，
$$
\vec{i_{\rm{A}}}
=\frac{-(\sin{\rm{A}})\vec{a}+(\sin{\rm{B}})\vec{b}+(\sin{\rm{C}})\vec{c}}
{-\sin{\rm{A}}+\sin{\rm{B}}+\sin{\rm{C}}}
=
\frac{-a\vec{a}+b\vec{b}+c\vec{c}}
{-a+b+c}
$$
$$
\vec{i_{\rm{B}}}
=\frac{(\sin{\rm{A}})\vec{a}-(\sin{\rm{B}})\vec{b}+(\sin{\rm{C}})\vec{c}}
{\sin{\rm{A}}-\sin{\rm{B}}+\sin{\rm{C}}}
=
\frac{a\vec{a}-b\vec{b}+c\vec{c}}
{a-b+c}
$$
$$
\vec{i_{\rm{C}}}
=\frac{(\sin{\rm{A}})\vec{a}+(\sin{\rm{B}})\vec{b}-(\sin{\rm{C}})\vec{c}}
{\sin{\rm{A}}+\sin{\rm{B}}-\sin{\rm{C}}}
=
\frac{a\vec{a}+b\vec{b}-c\vec{c}}
{a+b-c}
$$
が成り立つ．
