ヴァンデルモンド行列の行列式 \(\det V\)は， 差積 $$ \prod_{1\leq i< j\leq n}(x_j-x_i). $$ なので， \(x_1, \cdots , x_n\)が相異なるとき， \(\det V\ne 0\)であり， \(V\)は，逆行列を持つ． この逆行列を記述するために，記号を用意する．
\(i=1,\cdots,n\)に対して， ラグランジュの基底多項式 と呼ばれる \(x\)の関数\(\ell_i(x)\)を， $$ \ell_i(x)=\prod_{k=1,k\ne i}^{n}\frac{x-x_k}{x_i-x_k} $$ で定める と， \(\ell_i(x)\)は，\(n-1\)次関数であり， \(j=1,2,\cdots,n\)に対して， $$ \ell_i(x_j)= \left\{ \begin{array}{ccc} 1&&(j=i) \\ 0&&(j\ne i) \end{array} \right. $$ が成り立つ． \(\ell_i(x)\)の展開式における \(j\)次の項の係数を\(v_{i,j}\)とおき， 定数項を\(v_{i,0}\)とおく． これにより，\(\ell_i(x)\)は， $$ \ell_i(x)=v_{i,0}+v_{i,1}x+v_{i,2}x^2+\cdots+v_{i,n-1}x^{n-1} $$ と表せる．
命題． \(x_1, \cdots , x_n\)が相異なるとする． このとき，ヴァンデルモンド行列\(V\)の逆行列は， $$ V^{-1}= \begin{pmatrix} v_{1,0} & v_{1,1} & v_{1,2} & \cdots & v_{1,n-1}\\ v_{2,0} & v_{2,1} & v_{2,2} & \cdots & v_{2,n-1}\\ v_{3,0} & v_{3,1} & v_{3,2} & \cdots & v_{3,n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{n,0} & v_{n,1} & v_{n,2} & \cdots & v_{n,n-1} \end{pmatrix} $$ と表せる．
