関数の極限（\(\varepsilon-\delta\)論法）片側極限

あいだBy gleamath
関数の極限 で扱った内容について， \(\varepsilon-\delta\)論法を用いた 厳密な議論を紹介する．

  1. 関数の極限（ε-δ論法）定義と四則演算その１
  2. 関数の極限（ε-δ論法）定義と四則演算その２
  3. 関数の極限（ε-δ論法）はさみうちの原理

  4. 関数の極限（ε-δ論法）片側極限 （この記事）



この記事では，右極限や左極限の \(\varepsilon-\delta\)論法を用いた定義を紹介し， 関数が収束するための必要十分条件は， 右側極限と左側極限が存在して， それらが一致することであるという次の結果を証明する．

\(\alpha\)を実数とする．このとき次が成り立つ．

$$ \lim_{x\to a}f(x)=\alpha \hspace{5pt} \Longleftrightarrow \hspace{5pt} \lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha $$

また，これまで見てきた極限の基本的性質（四則演算との互換性や，はさみうちの原理など）が， 片側極限についても成り立つことにも言及する．

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この記事は， [黒田2018] を参考にさせていただいています．