この記事では， \(\varepsilon-\delta\)論法による関数の極限の定義に基づいて， 次の定理を証明する．
ある実数\(\alpha,\beta\)に対して， \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha, \displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\beta\) が成り立つとする． このとき，
\(a\)の近くの全ての\(x\)に対して， \(f(x)\leq g(x) \hspace{5pt}\Longrightarrow\hspace{5pt} \alpha \leq \beta\)
\(a\)の近くの全ての\(x\)に対して， \(f(x)\leq h(x) \leq g(x) \)かつ\(\alpha=\beta \hspace{5pt}\Longrightarrow\hspace{5pt} \displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=\alpha\)
が成り立つ． ２つ目の主張は「はさみうちの原理」と呼ばれる．
この記事は， [黒田2018] を参考にさせていただいています．
