この記事では， 関数\(f(x)\)において， \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\) を定義し， 関数の極限と四則演算に互換性があることを証明する．
高校数学において，関数の極限は， 「限りなく近づくとき\(\cdots\)」のような曖昧な表現を使って 定義されるのであった． これを厳密に定義すると次のようになる：
関数\(f(x)\)において， 任意の正数\(\varepsilon\)に対して， ある正数\(\delta\)が存在して，
$$ 0<\mid x-a\mid<\delta \mbox{ である全ての}x\mbox{に対して，} \mid f(x)-\alpha\mid<\varepsilon $$
が成り立つ とき， \(\alpha\)を \(x\to a\)のときの関数\(f(x)\)の極限値 といい， \(\alpha=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) と表す．
この厳密な定義に基づいて， 次の関数の極限の基本的性質を証明する．
ある実数\(\alpha,\beta\)に対して， \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha, \displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\beta\) が成り立つとする． このとき， $$\displaystyle\lim_{x\to a}\{kf(x)+lg(x)\}=k\alpha+l\beta$$ $$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta$$ $$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}$$ が成り立つ． ただし，\(k,l\)は定数であり， ３つ目の公式については，\(\beta\ne0\)を仮定する．
この記事は， [黒田2018] を参考にさせていただいています．
