$$
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\hspace{10pt}
(a\ne0)
$$
において，
曲線\(C:y=f(x)\)
が，
複接線を持つための必要十分条件
は，
$$
D:=3b^2-8ac>0
$$
が成り立つことであった．
以下では，\(D>0\)を仮定する．
４次曲線\(C\)に対して，その複接線\(\ell\)はただ１つに決まることから， \(C\)と\(\ell\)で囲まれる部分の面積も， \(C\)の方程式のみによって決まることが分かる． この事実と， 1/30面積公式 を合わせることで， 次の公式を得ることができる．
\(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e,\ (a\ne0)\)とし，
曲線\(C:y=f(x)\)が複接線\(\ell\)を持つとする．
このとき，
\(C\)と\(\ell\)で囲まれる部分の面積\(S\)について，次が成り立つ．
$$
S
=\frac{\sqrt{D}^5}{960a^4}
\hspace{10pt}
(D:=3b^2-8ac)
$$
注意． 上の公式の形から， その面積は， \(f(x)\)の１次以下の項の係数（すなわち\(d,e\)） には寄っていないこともわかる． これについて， 定数項の値（\(e\)）が面積に影響を与えないのは， 平行移動によって面積が不変であることから明らかである． １次の項の係数（\(d\)）については， 下のPDFか， ４次関数の対称性 を参照していただきたい．
