実数の連続性と同値な定理たち

実数の連続性を公理として議論を始め，最終的に上限定理を証明することができる.上限定理 とは，すなわち実数の連続性公理のことであるから，議論の途中で登場する定理たちは全て同 値であることがわかる.この点について，図にまとめておく.

実数の連続性 （上限定理）
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有界単調数列の収束性
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区間縮小法 $\hspace{5pt}+\hspace{5pt}$ アルキメデスの公理
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ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
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実数の完備性 $\hspace{5pt}+\hspace{5pt}$ アルキメデスの公理
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上限定理 （実数の連続性）

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この記事は， [黒田2018]，[杉浦1980] を参考にさせていただいています．