実数の連続性と同値な定理たち

実数の連続性を公理として議論を始め，最終的に上限定理を証明することができる.上限定理 とは，すなわち実数の連続性公理のことであるから，議論の途中で登場する定理たちは全て同 値であることがわかる.この点について，図にまとめておく.

実数の連続性 （上限定理）
$$\Downarrow$$
有界単調数列の収束性
$$\Downarrow$$
区間縮小法 \(\hspace{5pt}+\hspace{5pt}\) アルキメデスの公理
$$\Downarrow$$
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
$$\Downarrow$$
実数の完備性 \(\hspace{5pt}+\hspace{5pt}\) アルキメデスの公理
$$\Downarrow$$
上限定理 （実数の連続性）

PDF

この記事は， [黒田2018]，[杉浦1980] を参考にさせていただいています．