三角関数

角度について，その大きさだけではなく向きというものも含めて考えることができる． このように， 回転の向きと大きさを表した角のことを 一般角という． また角度を表すのに，これまでは， \(30^\circ\)，\(60^\circ\) のように単位を１度とする度数法を用いていたが， 今後は１ラジアンを単位とする弧度法というものを用いる．

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動径，始線， 正の角，負の角

既知である円周の長さや円の面積の公式と， 扇形の弧の長さや面積は中心角の大きさに比例するという事実から， 扇形の弧の長さや面積を求める． このような例を知ることで， 弧度法がいかに自然であるかを実感できるだろう．

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直角三角形を用いて定義された三角比 \(\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta\)は， 原点を中心とする半径\(1\)の半円を用いて， \(0\leq\theta\leq\pi\)である\(\theta\)に対して定義されたのであった． ここでは，単位円を用いて，任意の一般角に対して，三角比を定義し，それらが\(\theta\)の関数になっていることをみる． これを 三角関数という．

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三角関数の相互関係

三角関数の定義から， \(y=\sin x\)， \(y=\cos x\)， \(y=\tan x\) のグラフを描く． 三角関数は周期関数である．

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奇関数，偶関数

\(y=\sin kx\)や， \(y=k\sin x\)のグラフが， もとの \(y=\sin x\)のグラフに対して， どのようになっているのかを考察する． また平行移動についても二次関数のグラフなどと同じように考えれることを確認する．

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周期

三角関数を含む方程式のことを三角方程式といい， 一般角で表された三角方程式の解を一般解という. ここでは， 三角方程式の解法を学ぶ．

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動径と単位円の交点

三角関数を含む不等式のことを三角不等式という． ここでは， 三角不等式の解法を学ぶ． 解の範囲について注意する必要がある．

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動径の傾き

\(\sin(\alpha+\beta)\)は， \(\sin\alpha, \sin\beta, \cos\alpha, \cos\beta\)を用いて記述できるのだろうか．この問いに答える加法定理を証明する．加法定理は大変重要な定理である．
逆に，加法定理を用いると， \(a\sin\theta+b\cos\theta\) という形の式を \(r\sin(\theta+\alpha)\) のように，１つの三角関数で表すことも可能である． これを三角関数の合成という．

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余弦定理

上で証明した加法定理の特別な場合として， ２倍角，３倍角，半角の公式と呼ばれる公式を証明する．

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加法定理を組み合わせて， 三角関数の和の形から積の形に変換する公式と，逆に積の形から和の形に変換する公式を証明する．公式の形は複雑だが，加法定理を用いて簡単に導くことができるので，公式の形よりその導出方法を覚える方が良い．

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