数列

数列とは， ある規則に従って並べらてた数の列のことである．本格的に数列を学ぶ前に， 良くある数列の穴埋め問題に挑戦しよう． 空欄が埋められるということは， 数列の規則が分かっているということである．

キーワード：
穴埋め

本稿では， 次の２つの規則を持つ数列について学ぶ．

• 等差数列： ある数を次々と足して得られる数列
• 等比数列： ある数を次々と掛けて得られる数列

数列を知ることは， その規則を知るということであるが， さらにその規則から，一般項を求めることが大切である． 数列の一般項と， その規則から， 数列の各項の和についての公式が得られる．

キーワード：
初項，公差，公比

上で学んだように， 数列の各項の和を考えることは重要である． ここでは， 和の記号\(\sum\)を定義し， その性質を学ぶ． そして，その性質を用いて， 等差数列や等比数列以外の数列の和 に関しての公式を作成する．

キーワード：
数列の和

規則が見えにくい数列でも， その階差数列は， 簡単な数列であることが多い． 階差数列の一般項から， 元の数列の一般項が得られる ことを学ぶ．

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数列\(\{a_n\}\)は， 初項の値と， 隣り合う二項間の関係 がわかっていれば， 全ての項の値がする． ここで， 隣り合う二項間の関係式を 漸化式 という． 漸化式を使って， 数列を定義することを， 帰納的に定義する という．
漸化式を用いて，数列を帰納的に定義するように， 自然数に対する命題を，帰納的に証明する方法として， 数学的帰納法 を学ぶ．

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漸化式が定義する数列が， 知っている数列 （等差数列や等比数列） の場合は， その一般項を， これまでのように求めることができる． また，漸化式を変形して， 階差数列の一般項がわかる場合は， この場合も， これまでのようにして， もとの数列の一般項を求めることができる． ここでは， 漸化式の形から， 定義される数列 を判断し， その一般項を求めることを目標とする．

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基本的な数列の漸化式ではない形の漸化式として，まずは， 漸化式

• \(a_1=a\)
• \(a_{n+1}=pa_n+q\)

で定義される数列 \(\{a_n\}\)の一般項を求める． これは， \(p=0\)なら，定数列であり， \(p=1\)なら，単に等差数列である． よって，本稿では， \(p\ne0,1\)を仮定する．
多くの複雑な漸化式で定義される数列は， ここで学ぶ， \(a_{n+1}=pa_n+q\)型の漸化式に帰着させることで，その一般項を求めることができる．

キーワード：

次の形の漸化式で定義される数列の一般項を求める方法を紹介する． ここで見るように， 多くの場合は， これまでに学んだ基本的な漸化式の形に帰着させることができる．

• \(a_{n+1}=pa_n+q^n\)型
  
  
• \(a_{n+1}=pa_n^q\)型
  
  
• \(a_{n+1}=\frac{ra_n}{pa_n+q}\)型
  
  

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これまで，隣接する二項間の漸化式で定義される数列について学んできた． ここでは， 隣接する三項間の漸化式で定義される数列 の一般項を求める方法を学ぶ．

キーワード：
解と係数の関係