図形と方程式

数直線上の点と実数を対応させて，対応する実数をその点の座標と呼ぶ． 数直線上の点と座標の関係を学んだあと， 平面上の点と座標の関係について学ぶ．平面は数直線２本で構成されていると考えれば， 特に新しいことはない．

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２点間の距離，内分点，中点，外分点

平面上に直線を描くとき， どのような情報が揃えば直線が１つに決まるか考え，そのような情報から，直線の方程式が記述できることを学ぶ．

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傾きと通る１点の座標，通る２点の座標

点と直線の距離とは，点から直線に下ろした垂線の長さのことである．これまでに 点や直線についての基本事項を学んでいるので，点と直線の距離を求めることができる．

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次に，直線と直線の位置関係について学ぶ． 例えば，平行である２直線の方程式には，どのような関係があるのかなどを考察する．

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平行，垂直，一致

平面上に円を描くとき， （直線のときに考えたのと同様に，） どのような情報が揃えば円が１つに決まるか考える．それらの情報から，円の方程式が求められる．

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中心と半径，通る３点，２点を結ぶ線分が直径，基本形，一般形

円と直線の方程式を学んだので，それらを用いて，円と直線が共有点を持つかどうかの分類を行う．さらにそのあとで，円と直線が２点で交わる場合に，その２点を通る直線や円の方程式の形について考察する．

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円の中心と直線の距離，判別式の符号

次に円と円の位置関係について学ぶ．まずは円と円が共有点を持つかどうかの分類を行う．これは容易に想像できるように２円の中心間の距離とそれぞれの半径との関係を調べれば良い．

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中心間の距離

次に，円と円が２点で交わる場合に，その２点を通る直線や円の方程式の形について考察する．このような円は無数にあるが，それらの方程式には共通点があることを見る．

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直線や円の方程式を求めたときのように，図形が１つに決まる条件から，その図形を表す方程式が求められるはずである． 与えられた条件を満たす点が動いてできる図形を，その条件を満たす点の軌跡というが，ここでは軌跡の方程式を求める際の基本となる手順を説明する．

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必要十分条件

線分の端点からの距離の比が等しい点の軌跡，すなわち， ２点\({\rm{A}},\ {\rm{B}}\)に対して， \( {\rm{AP:BP}}=m:n \) を満たす点\({\rm{P}}\)の軌跡を 求める． （ただし，\(m,n\)は正の実数とし，\(m\ne n\)とする．）
この軌跡は円になることが知られており， アポロニウスの円と呼ばれる．

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円の接線の方程式は，円と接点が決まれば１つに決まる．よって，円の方程式と接点の座標が分かれば，その接点における接線の方程式を求めることができるはずである．

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中心と接点を通る直線と接戦は垂直

点の軌跡で学んだように， 方程式（等式）で表される図形は，一般には線であった．ここでは不等式で表される領域について学ぶ．

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境界線を含む

次に，連立不等式で表される領域について学ぶ．基本的な考え方は，１つの不等式の場合と同じであるが，連立不等式で表される領域は，それぞれの不等式の表す領域の共通部分となる．

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同時に満たす点，共通部分